Álgebra lineal, números complejos
Introducción a los números complejos
INTRODUCCION:
“La magia
poderosa de los números complejos”
Los distintos tipos de número han ido apareciendo en la
historia del hombre progresivamente según las necesidades de las actividades
que realizaba y son estudiados hoy también progresivamente desde la escuela
primaria a la universidad.
Debido a la necesidad de contar las cabezas de ganado
surgieron los números naturales, (que son todos positivos) con los que se puede
sumar; los números enteros, (que pueden ser positivos o negativos e incluyen al
cero) sirven para indicar los intercambios de mercancías y dinero; con ellos se
puede sumar y restar. La multiplicación es una forma más rápida de hacer una
suma de sumandos iguales y entonces se plantea el problema de hacer la operación
inversa a la multiplicación que es la división, pero esta operación no siempre
tiene solución con números enteros, por lo que se crearon otros números llamados
fraccionarios o racionales.
El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan hermoso
por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado
en la escuela básica y diversificada.
La finalidad de los números
complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad.
En este capítulo se reconocerá algunos títulos de algebra
lineal, teniendo como subtemas el origen, definición, y operaciones
fundamentales de los números complejos; los generalizaremos y además estudiaremos
ciertas propiedades de los números complejos.
ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números
negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de
Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible
sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo
XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los
polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como
Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este
tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de
números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por
Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos
no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica
que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y
popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números
reales fue dada en el Siglo XIX.
DEFINICION:
Un número complejo es un número de la clase a+bi en donde a y b son reales. Si a es cero el número complejo se reduce
un número imaginario puro. Si b es
cero se reduce a un número real.
Los números reales R y los números imaginarios puros I son
casos especiales de los números complejos C.
Ejemplo:
El siguiente numero complejo z=12i
OPERACIONES
FUNDAMENTALES:
Varias propiedades de la suma y del producto de números
complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más
básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes conmitativas
z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1
Y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1
+ (z2 + z3), (z1z2)z3
= z1(z2z3)
Se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el
producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen.
Por ejemplo, si
z1 = (x1,
y1) y z2 = (x2, y2),
Entonces
z1 + z2 = (x1, y1)
+ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 +
y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1) = z2
+ z1
La verificación de las restantes, así como de la ley
distributiva
z(z1 + z2) = zz1 +
zz2
Es similar. De acuerdo con la ley conmutativa del producto,
iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy o z
= x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 +
z2 + z3 o un producto z1z2z3
están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la identidad
multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de
los números complejos. O sea,
z + 0 = z y z
* 1 = z
Para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos
números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0,
supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x,
y),
Donde (x, y) es
cualquier número complejo. Se deduce que
x + u = x e y
+ v = y;
O sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por
tanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso
aditivo -z = (-x, -y)
Que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo
inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica
que u = -x y v = -y.
Los inversos aditivos se usan para definir la resta:
z1 - z2 = z1 + (-z2).
Luego si z1 = (x1, y1) y z2
= (x2, y2), entonces
z1 - z2 = (x1 - x2,
y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1
- y2).
Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo,
existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es
menos obvio que el aditivo. Para hallarlo, buscamos números reales u, v
expresados en términos de x e y, tales que
(x, y)(u, v) = (1,0).
CONCLUSION:
En base referente a este resumen aprendí a que los números complejos se
caracterizan por tener una parte real a
y otra imaginaria b. Y que la parte
imaginaria indica el número de veces que aparece el número imaginario i, además
de que toda ecuación polinómica tienen solución mostrando así que mediante la
fórmula de Cardano y la unidad imaginaria, podemos obtener la solución de
cualquier ecuación, y así obtenemos de sus formas binomicas y polares, que
mediante todo el proceso pude darme cuenta que tanto como la resta se efectúan
muy rápidamente, mientras que el producto y la división se realizan más
rápidamente en forma polar y así como la de Euler que permite que se utilice
para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica,
simplificando enormemente esas operaciones.
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